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ABC予想 [数学]

ABC殺人事件ならぬABC予想が話題となっている。

A+B=C となる正の整数で、互いに素となる組み合わせ。まあ、いくらでもありますわなぁ。例えば、2+3=。2、3,5はことなる素数ですから当然、互いに素。

ややこしいのは、この後で、この3つのABCを全部掛けたときに、2×3×5=30になるのですが、ここでこの積ABCについての根基(radical)という概念を持ち込むことです。この根基というのは何かというと、互いに異なる素因数の積・・・だそうです。

つまり、今の例ですと2×3×5=30ですから、rad(ABC)=rad(2・3・5)=30です。

これでは、あまりにそのまんま東なので、ちょっと大きな数字にしてみましょう。

今度は3+5=。さて、8=2×2×2(つまり2の三乗)ですから、素数の2が重複しています。このようなときは、rad(3・5・8)=3×5×2となるので、30なわけです(偶然、また30になりましたね)。

では、さらに5+8=13でどうか?今度はrad(5・8・13)=5×2×13ですから、130ですね。

ということで、常識的に考えて、3番目の数字Cはrad(ABC)より明らかに小さい数字のはずです。つまりC<rad(ABC)であろうと予想がつきます。

問題は、今回のこのABC予想で扱う対象は、逆にC>rad(ABC)となる数字の組み合わせについてに考えることというなので、とんでもなくでかい数字になりそうです。そんな数を発見するのはちょっと大変。

で、さらにLOG対数を使った新たな質という概念も登場して、複雑な計算をするらしいのですが、結局、そういった数の組み合わせABCはそういくつもないだろう・・・というのが予想(セオリー)のようですね。

これは灰色の脳細胞でもお手上げ!・・・でしょうね。実際、数組しか発見されていないようですが、3の10乗×109とか23の5乗とかいう数字が登場してきます。


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やっと終わった数学ⅡB [数学]

1週間かけてやっと終わりました。大問1~4までの問題文を読むだけでも30分はかかるのではないか?と思うくらいの問題量。しかも、計算だけでもかなりの量となり、本当にこれを60分で解くのだろうか?

しかも、実際にやってみたところ、ことごとく計算ミスが飛び出して、いったいどこを間違えているのか検証するのに時間が相当かかった。実際、もう10年近く、センター数学をやっているのだが、こんなに手間取ったのは始めて。問題が難化しているのか、こちらの頭がボケてきているのか?

また大問4のベクトルの問題は図がないので、設定条件を理解するのにかなり手間取る。要するに、3次元空間座標なのだが、だったら、素直に図で示してくれればよいになぁ~。

大問3の数列、後半の漸化式みたいなヤツは、本当にめんどうくさい。なんか、簡単な方法がないのかな?問題こなして、カンを養うしかないのか?


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えげつない問題(センター試験) [数学]

二日目の数Ⅱ・B。大問1の(1)の対数はまあ許せるとして、(2)の三角関数はえげつないこときわまりない。

多くの受験生がここでパニクったんではないかな?

サインαとコサイン2βが同じとき、ベータをアルファで表せという。しかも、対応するベータは二つ出てくるから(0度~360度の範囲で)、ややこしい。

コサイングラフがサイングラフを90度ずらしたものであることは誰もがわかるだろうが、プラスするのかマイナスするのか、わけがわからなくなる。

こんなえげつない問題は、いまだかつて経験ないので完全にアウトですな。

しかも、その後、α+二分の1β+3分の1ベータのサインの最大値を求めると言う。もう、考えただけで前途多難。うんざりです。

なんで、そんなつまらないことを考えだすんだろう?一体、何の意味があるんだってんだ?


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センター試験二日目(数学Ⅰ・A) [数学]

半年振りに数学。4番の確率は、めずらしくまともな問題。

1番の計算は基本。だが、あいかわらず、後半の十分条件と必要条件がどちらか迷う。なんか、ちゃんとした覚え方があるといいのだが、ネットで検索してもまともなのはないですね。英語SUFFICIENTとNECESSARYの訳のようだが、もっと別の言い方を考えた方がいいですね。

もっといいのは、この手の論理・条件みたいのは数学から排除してほしい。こんなん、数学じゃねえぜ。ちゃんとした代数と幾何だけに絞ってほしいですね。

2番は二次関数。最大値と最小値の条件を求める問題は、なかなかおもしろいじゃないですか。ちょっと、今ままで経験したことないパターンです。

3番は幾何学。おなじみの正弦定理や余弦定理かと思ったら、二等辺三角形だから、すぎに答えが出てしまう。てっきりサービス問題かと思ったら、後半の半径や頂点までの距離を出す問題にはめんくらった!

角の二等分線が交わる点が内心。内接円は各辺と垂直(=接する)だから面積を辺の和で割って2倍すれば半径。

問題は(1)から。せっかく内接円の半径を出して一安心しているのに、一体何がしたいのか、突然頂点Bから点P、点Qと意味不明の点を二つも追加して外接円を出してくる。もぅ~、エエカゲンイセイ!と言いたくなりますね。

てっきりBP=BQ=2/3 かと思い込んでしまい、パニクリますが、よく見ると、PQ=2/3!

きっと、私のように勘違いした人もいるのではないかな?こうなるともう時間がいくらあっても足りないでしょうね。そしてさらに

(2)では、円I上にまたもや、点E、Fをとり、しかもこれらがCと一直線上にあるという。ここからCEの長さを出せとなるのだが、ここで完全にパニックでしょうね。なんじゃ、これ?!って感じですね。

もっとも、図をかけばEF:CEが1:1になるのは一目瞭然だから、比率のほうは(答えだけは)簡単に類推(わかる)のだが・・・。

解説をみると、簡単な問題とあるが、決して簡単ではないですね。しかもたしか60分で解くとなると、計算ミスは許されない。最後の確率なんかでは、計算が多くなるので、かなりのやり手でも時間は一杯一杯でしょう。

毎日、数学だけ教えている先生は簡単かもしれませんが、9教科も勉強している生徒にとってはけっして簡単ではないと思いますね。


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今年は数Ⅱが易しかった?! [数学]

例年数Ⅱ+Bがややこしいのだが、今年はえらくやりやすい問題でした。

その分、数ⅠAがとまどうような問題ばかりで、大苦戦でした。

バイオハザードばかりやっていると、確かに頭の回転が鈍くなるということを痛感しました。

テレビゲーム反射神経を養成するように思っていましたが、よく言われるように、

脳の活動を鈍化させますね。

長かったバイオハザード4(wii版)もようやく完全制覇しました。付属のアナザー・オーダー、エイダ・ザ・スパイ、マーセナリーズも完全制覇。特に、マーセナリーズは鬼のような手ごわさでしたが、制覇できました。

本編も国際標準モードを制覇⇒プロフェッショナルモードも制覇できました。

制覇後は、無限ランチャーや無限シカゴタイプライターを使ってお礼参りです。群がる敵をガンガンやっつけてウサ晴らしですね。

数学も久しぶりにやると、まったくカンが戻りませんが、バイオハザードぐらい問題演習をやりこまないとダメっておとですなぁ~。だけど、現役の生徒さんにそんな時間は無いよなぁ~。世界史や英語なんて恐ろしいほどの暗記量が必要ですからね。私の経験からいって、英語をやっていたら、数学なんてやる時間ありまへんで。


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複素数と図形~回転 [数学]

ブックオフで105円で問題集を買ってきた。

数ⅡBの公式なんかは、すぐに忘れてしまうのでカンを取り戻すのは大変なのだが、この回転の公式(オイラーの公式?)ってヤツは記憶にないなあ~。高校でも習った記憶ないし、教えた記憶もない。

参考書が手元にないので、ネットで検索してみたら、複素数と回転に関して、三角関数の加法定理の解説を見つけた。今まで、意味も分からず、

咲いたコスモス、コスモス咲いた、 とか コスコス、サイサイ

と覚えていたけど、直角三角形で考えると簡単なんですね。これなら、この図形を描けば、一発で公式を導きだせるじゃないですか!うーん、知らんかったなぁ・・・。なお、加法定理の証明は、以前、東大の二次試験に出たんだけど、この図形で導く方法を知っていたら楽勝だったよなあ~。


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やっぱりつらい数Ⅱ・数Bセンター試験 [数学]

昨年の数Ⅱ・数Bは例年より難しかったと感じたが、今年(平成20年)もやっぱり、難しかった。

だいたい制限時間=60分とあるが

120分の間違えとちゃうか?

せめて、100分は欲しいで。

つまり、配点が30点の大問1と2は各30分。選択の二つは各20点の配点なので、これも各20分は最低ほしい。

といのも、センター特有の解法の意図(流れ)がつかめないと、パニックになるし、計算でてまどるとアウト。けっこう、図を描いて考えないといけないところもあるし、どう考えても時間不足。

料理の鉄人じゃあるまいし、制限時間60分は本当につらい。

ちょっと、60分で5品(大問5つ)を仕上げるのは、無理!!

大問1の(1)の対数(log)の問題はまあ、よしとして、(2)の座標平面上の図形(円と扇形)の問題は三角関数と周期がからんでくるので、図に描いたり、サインカーブを書いたりしてラジアンの周期を考える必要があるので、ちょっとメンドイ。

大問2は微分と積分だが、これも(3)がやっかい。放物線C1とC2、およびX=0とX=2で囲まれた図形をRとして、そのうちY=0(つまりX軸)より上の部分面積を求めろという問題。しかも、誘導でaの値を3通りに場合わけしている。・・・よって、この出題の意図を理解するまでに、かなりの時間を費やしてしまう。もっともその前の(2)で、面積の計算(つまり積分)が3を分母とする分数の計算になるので、ここで間違えるとパニ・パニ・パニック!

大問3(選択)は数列で(1)は安易だが、(2)の後半が難解。一般項と和を求めるのに、計算紙面を大量につかう必要がある。しかも正確に。

最後に大問4(選択)は空間ベクトルの計算。内積の計算なんてチョー久しぶり。というか、ベクトルは得意だったので、ついつい疎かにしていたのだが、完全に基本事項を忘れていました!

内積は、乗法公式のように使えるのでした!(なぜかは証明できないけど、とにかく覚える)

ただ、これも四面体を図に描いて、どこが垂直になるか考えないといけないので、そのポイントをつかめないとアウト。しかも、これも正確な計算が要求されるので、最近、計算がいい加減になっているので、何度もミスをしてしまいました。

で、通算すると結局

5,6時間は使っていますかね ・・・(恥)

 


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数列2~センター試験 [数学]

数列(数Ⅱ・B)の過去問を調べてみましたが、過去の問題はやっぱり、簡単です。

2004年(当時はまだ数Ⅰの範囲)の問題なんて

9÷37の商の小数点以下の数列の問題。

この商は0.243243243243・・・という三桁の243循環小数になります。

①番目の問題は、だから答え=3 3桁ごとですから

おいおい、いくらなんでも、こんなくだらない問題はないだろう。小学4年生の問題だぞ。

大学生をなめんじゃねぇ~!

(そういえば、サラリーマン金太郎のパチスロが復活するそうです。)

②番目の問題は、この数列の100番目までの合計(総和)を出す問題。

おいおい、これって(2+4+3)が33回あって、最後の100番目に2を足すだけだぞ!

今時、中学入試でも、もうちょっと、気の聞いた出題をするぞぉ~!

男塾の田沢でもできる問題だ!


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数列~センター試験 [数学]

今年のセンター試験の数列は難しかったような気がする。

マークシート問題の特徴でもあるが、いったい何を意図しているのかをつかむの難しい。

これって私だけ???

今回は特に(2)で、等差でも等比でも階差でもないnについての二次式の数列

n=n2乗-5n-9  ・・・みたいな

で、その後、+12Cn=オカn2乗+

とか出てきて目が・・・

 

内にある赤チャート(30年前のもの)で調べても、このようなパターンは載っていない・・・(私の見たかぎり)

解くには解けるが、時間がかかりすぎてしまいます。(情けない・・・)確か、去年も数Ⅱ・Bは難しかった。数列だけ過去問を調べてみましたが、やはり、以前は基本的な問題でした。

ただ、マークシート数学は、答えがなんとなく解る所もあるので、インチキくさいテストですね。

例えば アイ とかあったら ア=-(マイナス記号)というのは分かってしまう!

でも、その反面、前の答えがあっていないと、次の問題以降が全滅となってしまう恐ろしい問題でもあります。

 

因みにm2001、02年ごろは数Ⅱ・Bではなくまだ、数Ⅰの範囲だったんですね。

時代を感じます。

 


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約数の問題 [数学]

6年生になると約数・倍数を習うようになる。中学受験では5年生から。

そんな単純内容なのだが、改めて発見というか気づいたことがあった。

それは

連続する整数は、お互いに素である。

つまり同じ約数を持たないということである。(もちろん1は除く)

確かに言われてみれば、2の倍数は2つおき、3の倍数は3つおきにでてくるのだから、同じ約数を持つ数字が連続するはずないのだ。しかし、これって証明する必要はないのだろうか?当たり前ってことで使っていいんでしょうかね?

というのも、こんな単純なことを意識しているだけで、実は東大の数学の問題が解けるからだ。

問題 2005年の入試から

↑2(aの二乗という意味)-a が10000で割り切れるときaはいくつか?考がえられるものをすべて答えよ。但しaは奇数で3<<10000とする。

だいたい上記のような内容だったと思います。

 


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